Bài tập Hình học Lớp 7 - Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng (Có lời giải)

Nội dung text: Bài luyện Hình học tập Lớp 7 - Phương pháp chứng tỏ phụ thân điểm trực tiếp sản phẩm (Có lời nói giải)

1. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG HèNH HỌC LỚP 7 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Dựa nhập khái niệm gúc bẹt nhằm chứng tỏ phụ thân điểm trực tiếp sản phẩm A B C ãABC = 1800 Ba điểm A, B, C trực tiếp sản phẩm 2. Vận dụng tiờn đề Ơclớt chứng tỏ hai tuyến đường trực tiếp cựng trải qua một điểm và cựng tuy vậy song với 1 đường thẳng liền mạch cho tới trước A B C AB // a AC // a => A, B, C trực tiếp sản phẩm a 3. Chứng minh hai tuyến đường trực tiếp cựng trải qua một điểm và cựng vuụng gúc với 1 đường thẳng liền mạch cho tới trước: A AB  a => A, B, C trực tiếp sản phẩm B BC  a C a 4. Chứng minh phụ thân điểm cựng nằm trong tia phõn giỏc của một gúc Tia OA là tia phõn giỏc của xã Oy A, O, B trực tiếp sản phẩm Tia OB là tia phõn giỏc của xã Oy 5. Chứng minh phụ thân điểm cựng nằm trong đàng trung trực của một quãng trực tiếp A A nằm trong đàng trung trực của MN B nằm trong đàng trung trực của MN => A, B, C trực tiếp sản phẩm B C nằm trong đàng trung trực của MN C M N 6. sít dụng đàng trung tuyến của một tam giỏc thỡ cần trải qua trọng tõm. A G là trọng tõm tam giỏc ABC AM là trung tuyến tam giỏc ABC G => A, G, M trực tiếp sản phẩm B M C 7. Chứng minh đàng phõn giỏc của tam giỏc thỡ trải qua phó điểm cộng đồng của chỳng: A I là phó điểm 2 đàng phõn giỏc Bà ,Cà I AD là phõn giỏc của àA A  D trực tiếp sản phẩm. B D C 8. Chứng minh đàng cao của tam giỏc thỡ trải qua trực tõm của tam giỏc đú: A H là trực tõm ABC AD là đàng cao ABC H => A, H, D trực tiếp sản phẩm B D C
2. Vớ dụ 3: Cho ABC vuụng ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuụng gúc CA (tia Cx và điểm B ở nhì nửa mặt mũi phẳng phiu đối nhau bờ AC). Trờn tia Cx lấy điểm D sao cho tới CD = AB. Chứng minh phụ thân điểm B, M, D trực tiếp sản phẩm. = = B / / = D M / / C A M C = B A D Giải Xột AMB và CMD cú: AB = DC (gt). Cặn Bã AM Dã CM 900 MA = MC (M là trung điểm AC) Do đú: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra: ãAMB Dã MC Mà ãAMB Cặn Bã MC 1800 (kề bự) nờn Cặn Bã MC Cã MD 1800 . Vậy phụ thân điểm B; M; D trực tiếp sản phẩm. Vớ dụ 4: (Bài luyện 55 trang 80 SGK Hỡnh học tập 7 luyện 2). Cho hỡnh vẽ. Chứng minh phụ thân điểm B, D, C trực tiếp sản phẩm Giải KD là đàng trung trực của AC DA = DC B ADC cõn bên trên D Mà DK là đàng trung trực => DK là đàng phõn giỏc 4 D I 3 à ả D1 = D2 (1) 2 1 DI là đàng trung trực của AB DA = DB ABD cõn bên trên D A K C Mà DI là đàng trung trực => DI là đàng phõn giỏc ả ả => D3 = D4 (2) à ả ả ả Từ (1) và (2) suy đi ra D1 + D4 = D2 + D3 Ta cú: DK // AI (cựng vuụng gúc với AC)  0 ã 0 ả ả 0 Mà I 90 suy đi ra IDK 90 => D2 + D3 = 90 à ả ả ả 0 => D1 + D4 = D2 + D3 = 90 ã à ả ả ả 0 BDC = D1 + D2 + D3 + D4 180 Vậy phụ thân điểm B, D, C điểm trực tiếp sản phẩm. 2. Vận dụng tiờn đề Ơclớt chứng tỏ hai tuyến đường trực tiếp cựng trải qua một điểm
3. OD = OB (vỡ O là trung điểm BD) Vậy AOD = COB (c.g.c) A Suy ra: Dã AO Oã CB . x = * Do đú: AD // BC. X ã ã O Nờn DAB CBM (ở vị trớ đồng vị) B / / D Xột DAB và CBM cú : = AD = BC ( tự AOD = COB), * X Dã AB Cã BM (hai gúc đồng vị) AB = BM ( B là trung điểm AM) M C N Vậy DAB = CBM (c.g.c). Suy đi ra ãABD Cặn Bã MC . Do đú BD // CM. (1) Lập luận tương tự động tao được BD // công nhân. (2) Từ (1) và (2) , theo gót tiờn đề Ơ-Clit suy đi ra phụ thân điểm M, C, N trực tiếp sản phẩm. Vớ dụ 3: Cho ABC. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của cỏc cạnh AC, AB. Trờn cỏc đường thẳng liền mạch BM và công nhân theo thứ tự lấy cỏc điểm D và E sao cho tới M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh phụ thân điểm E, A, D trực tiếp sản phẩm. E A = D = = / / / N M E = D / N B C M C B A Giải Xột BMC và DMA cú: MC = MA (do M là trung điểm AC) Cặn Bã MC Dã MA (hai gúc đối đỉnh) MB = MD (do M là trung điểm BD) Vậy: BMC = DMA (c.g.c) Suy ra: ãACB Dã AC Mà ãACB,Dã AC là nhì gúc này ở vị trớ so sánh le nhập nờn BC // AD (1) Chứng minh tương tự động : BC // AE (2) Điểm A ở ngoài BC cú một và có một đường thẳng liền mạch tuy vậy song BC nờn kể từ (1) và (2) và theo gót Tiờn đề Ơ-Clit Suy đi ra phụ thân điểm E, A, D trực tiếp sản phẩm. 3. Chứng minh hai tuyến đường trực tiếp cựng trải qua một điểm và cựng vuụng gúc với 1 đường thẳng liền mạch cho tới trước: A  a B AB => A, B, C trực tiếp sản phẩm BC  a a C
4. mà Pã MB Pã MC 1800 nờn Pã MB Pã MC = 900 => PM  BC. Lập luận tương tự động QM  BC Từ điểm M trờn BC cú AM  BC, PM  BC, QM  BC Nờn phụ thân điểm A, P.., Q trực tiếp sản phẩm (đpcm) Vớ dụ 4: Cho ABC cú AB = 5, AC = 12, BC = 13. Vẽ ACD sao cho tới AD = 16, CD = đôi mươi. Chứng minh phụ thân điểm B, A, D trực tiếp sản phẩm Giải D Ta cú AB2 + AC2 = 52 + 122 = 169 BC2 = 132 = 169 Nờn AB2 + AC2 = BC2 => ABC vuụng bên trên A (định lớ Py-ta-go đảo) => AB  AC đôi mươi Tương tự: ACD cú AC2 + AD2 = CD2 = 400 16 => ACD vuụng bên trên A (định lớ Py-ta-go đảo) => AD  AC A Ta cú AB  AC và AD  AC 5 12 => Hai đường thẳng liền mạch AB, AD trựng nhau Vậy phụ thân điểm B, A, D trực tiếp sản phẩm B 13 C 4. Chứng minh phụ thân điểm cựng nằm trong tia phõn giỏc của một gúc: Tia OA là tia phõn giỏc của xã Oy Tia OB là tia phõn giỏc của xã Oy A, O, B trực tiếp sản phẩm Vớ dụ 1: Cho ABC cú AB = AC. Gọi M là 1 trong những điểm trực thuộc tam giỏc sao cho tới MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh phụ thân điểm A, M, N trực tiếp sản phẩm. Giải A ABM ACM (vỡ AM cộng đồng, AB = AC, MB = MC ) Cặn Bã AM =Cã AM M AM là tia phõn giỏc Cặn Bã AC (1) Tương tự động ABN ACN (c.c.c) B N C Cặn Bã AN =Cã AN AN là tia phõn giỏc Cặn Bã AC (2) Từ (1), (2) suy đi ra phụ thân A, M, N điểm trực tiếp sản phẩm. Vớ dụ 2: Cho xã Oy . Trờn nhì cạnh Ox và Oy lấy theo thứ tự nhì điểm B và C sao cho tới OB = OC. Vẽ đàng trũn tõm B và tõm C cú cựng bỏn kớnh sao cho tới chỳng tách nhau bên trên nhì điểm A và D trực thuộc gúc xOy. Chứng minh phụ thân điểm O, A, D trực tiếp sản phẩm. Giải Xột ΔBOD và ΔCOD cú: OB = OC (gt) x B / = = A O D / = = C nó Hỡnh 10
5. G là trọng tõm tam giỏc ABC AM là trung tuyến tam giỏc ABC => A, G, M trực tiếp sản phẩm Vớ dụ 1: Cho ABC vuụng bên trên A, cú BC = 10cm, AC = 8cm. Lấy điểm M trờn AB sao cho tới BM = 4cm. Vẽ điểm D sao cho tới A là trung điểm DC, gọi N là trung điểm BD. Chứng minh phụ thân điểm C, M, N trực tiếp sản phẩm Giải sít dụng toan lý Pythagore B Tớnh được AB = 6cm 4 DBC cú BA là trung tuyến N MB 4 2 2 và = = BM = BA M BA 6 3 3 D A C Vậy M là trọng tõm của DBC N là trung điểm BD suy đi ra công nhân là trung tuyến BDC Trung tuyến công nhân cần trải qua trọng tõm M Vậy phụ thân điểm C, M, N trực tiếp sản phẩm Vớ dụ 2: Cho ABC, kẻ trung tuyến AM. Trờn AM lấy nhì điểm P.., Q sao cho tới AQ = PQ = PM. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh phụ thân điểm B, P.., E trực tiếp sản phẩm. Giải A ABC cú AM là trung tuyến nhưng mà AQ = QP = PM (gt) Q 2 E AP = AM 3 P.. M P.. là trọng tõm ABC B C Vỡ E là trung điểm của AC nờn BE là trung tuyến của V ABC BE trải qua trọng tõm P.. hoặc phụ thân điểm B, P.., E trực tiếp sản phẩm. 7. Chứng minh đàng phõn giỏc của tam giỏc thỡ trải qua phó điểm cộng đồng của chỳng: A I là phó điểm 2 đàng phõn giỏc Bà ,Cà I AD là phõn giỏc của àA A  D trực tiếp sản phẩm. B D C Vớ dụ 1: Cho ABC cõn bên trên A. Vẽ phõn giỏc BD và CE tách nhau bên trên I. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh phụ thân điểm A, I, M trực tiếp sản phẩm Giải Ta cú ABC cú phõn giỏc của B và C tách nhau bên trên I suy đi ra I là phó điểm của 3 đàng phõn giỏc nhập tam giỏc ABC cõn bên trên A cú AM là đàng trung tuyến ứng với cạnh đỏy nờn AM cũng chính là phõn giỏc. Đường phõn giỏc AM cần trải qua phó điểm I Vậy phụ thân điểm A, I, M trực tiếp sản phẩm Vớ dụ 2: Cho ABC, cỏc tia phõn giỏc cỏc gúc A và C tách nhau bên trên I. Cỏc đàng phõn giỏc cỏc gúc ngoài bên trên đỉnh A và C tách nhau ở K. Chứng minh phụ thân điểm B, I,
6. => FD  BC Ta cú DE  BC, FD  BC => Hai đường thẳng liền mạch DE, DF trựng nhau Vậy phụ thân điểm D, E, F trực tiếp sản phẩm. 9. Chứng minh đàng trung trực của một cạnh thỡ trải qua phó điểm hai tuyến đường trung trực của nhì cạnh cũn lại: A O là phó điểm 2 đàng trung trực của 2 cạnh AC và BC E F EF là đàng trung trực của cạnh AB O => E, F,O trực tiếp sản phẩm B C Vớ dụ 1: Cho ABC cõn bên trên A, M là trung điểm của BC. Đường trung trực của AB, AC tách nhau ở D. Chứng minh phụ thân điểm A, D, M trực tiếp sản phẩm. Giải ABC cõn bên trên A cú MB = MC A nờn: AM là đàng trung tuyến ABC => AM cũng chính là đàng trung trực của ABC Mà D là phó điểm hai tuyến đường trung trực cạnh AB, AC Nờn AM trải qua D D B => Ba điểm A, D, M trực tiếp sản phẩm. M C Vớ dụ 2: Cho ABC vuụng bên trên A (AB Cặn Bã AC = Cặn Bã DE B C Nờn Cặn Bã DE 900 D Gọi F là phó điểm của ED và AC Ta cú AB  BD, DF  BD => AB // DF M Xột ABD và DFA cú: Cặn Bã DA= Fã AD AD là cạnh cộng đồng E Cặn Bã AD = Fã DA Do đú ABD = DFA (g-c-g) => BD = FA và AB = DF Mà AB = BD (gt) Do đú AB = BD = AF = DF BC Chứng minh được BM = FM = 2 Ta cú AB = AF, BD = DF, BM = FM
7. K K' = = Kẻ ME // AC (E BC) ãACB Mã EB (hai gúc đồng vị) Mà ãACB ãABC nờn Mã BE Mã EB Vậy ΔMBE cõn ở M. Do đú: MB = ME Mà MB = NC tao được ME = công nhân. Gọi K’ là phó điểm của BC và MN. Xột ΔMEK’ và ΔNCK’ cú: Kã 'ME Kã ' NC (so le nhập của ME //AC) ME = công nhân (chứng minh trờn) Mã EK ' Nã CK ' (so le nhập của ME //AC) Do đú : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) MK’ = NK’. Vậy K’ là trung điểm MN, nhưng mà K là trung điểm MN nờn K  K’ Do đú phụ thân điểm B, K, C trực tiếp sản phẩm.